算法复杂度分析

什么是复杂度分析？

1.数据结构和算法解决是“如何让计算机更快时间、更省空间的解决问题”。
2.因此需从执行时间和占用空间两个维度来评估数据结构和算法的性能。
3.分别用时间复杂度和空间复杂度两个概念来描述性能问题，二者统称为复杂度。
4.复杂度描述的是算法执行时间（或占用空间）与数据规模的增长关系。

为什么要分析算法时间复杂度？

1、如果不存在代码的测试环境，可以有效的推断出程序代码的时间占比以及代码运行效率。
2、根据估算出的时间复杂度进行优化，从而改善代码质量，提高运行效率。

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，称为大O记法。

推导大O方法法则(即时间复杂度分析)

1）单段代码看高频：比如循环。
2）多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
3）嵌套代码求乘积：比如递归、多重循环等
4）多个规模求加法：比如方法有两个参数控制两个循环的次数，那么这时就取二者复杂度相加

常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	非正式术语
12	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n²+2n+1	O(n²)	平方阶
5log2n+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlogn阶
6n³+2n²+3n+4	O(n³)	立方阶
2的n次方	O(2的n次方)	指数阶

常用的时间复杂度所消耗的时间从小到大依次是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2的n次方) < O(n!) < O(n的n次方)

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算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

如何学好复杂度分析？

1、复杂度分析重在勤学多练，即熟能生巧。
2、开发工作中，养成推导代码复杂度分析的习惯，久而久之就会提升分析能力。

复杂度分析的四个概念

1.最坏情况时间复杂度：代码在最糟糕情况下执行的时间复杂度。
2.最好情况时间复杂度：代码在最理想况下执行的时间复杂度。
3.平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。
4.均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

为什么要引入这4个概念？

1.同一段代码在不同情况下时间复杂度会出现量级差异，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，所以引入这4个概念。
2.代码复杂度在不同情况下出现量级差别时才需要区别这四种复杂度。大多数情况下，是不需要区别分析它们的。

如何分析平均、均摊时间复杂度？

1.平均时间复杂度
代码在不同情况下复杂度出现量级差别，则用代码所有可能情况下执行次数的加权平均值表示。
2.均摊时间复杂度
两个条件满足时使用：1）代码在绝大多数情况下是低级别复杂度，只有极少数情况是高级别复杂度；2）低级别和高级别复杂度出现具有时序规律。均摊结果一般都等于低级别复杂度。